如图，一个圆柱底面直径6cm，倾斜45度，水面高4cm，求水的体积是多少？ - 知乎

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首先这类问题十分适合使用定积分求解。在有关微积分的书籍上，有一章会是《积分的应用》

会详细介绍有关使用定积分求体积的方法，以及旋转曲线表面积的求法。

这是关于你问题建立的坐标系

上图坐标轴的方程为： x2+y2=9x^{2}+y^{2}=9 其中 x∈(0,3)x\in\left( 0,3 \right)

这里我其实是忽略你给的高度4cm，直接认为是切到半圆的,此时高度为 92\sqrt{\frac{9}{2}} 。后面我会补充，当高度为4cm的时候，会有惊喜。

这个锲形，可以理解成无数个矩形累积而成，根据上图，可以看出矩形的高是 xx ，矩形的长是 29−x22\sqrt{9-x^{2}}

所以：长高S=长∗高=29−x2∗x=2x9−x2S=长高=2\sqrt{9-x^{2}}x=2x\sqrt{9-x^{2}}

由此则可以直接使用定积分计算体积啦！积分区间是（）x∈（0,3）x\in（0,3）

V=∫032x9−x2dxV=\int_{0}^{3}2x\sqrt{9-x^{2}}dx

令 u=9−x2u=9-x^{2} 则 du=−2xdxdu=-2xdx

由（）x∈（0,3）x\in（0,3）得 u∈(0,9)u\in(0,9) (这里注意 uu实际是从9到0逐渐减少的)

所以：

∫032x9−x2dx=∫90u∗−du=∫09u12du\int_{0}^{3}2x\sqrt{9-x^{2}}dx=\int_{9}^{0}\sqrt{u}*-du=\int_{0}^{9}u^{\frac{1}{2}}du

=[23∗u32]09=(23∗932)−(23∗032)=18=\left[ \frac{2}{3}*u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{9}=(\frac{2}{3}*9^{\frac{3}{2}}) -(\frac{2}{3}*0^{\frac{3}{2}}) =18

所以当高度为 92\sqrt{\frac{9}{2}} ，底圆半径为3时锲形的体积为：18（立方单位）。

当高度为4cm，底圆直径为6cm时，此时从水底到底圆水面长度为： 42+42\sqrt{4^{2}+4^{2}} ，即 424\sqrt{2} 。可设圆心坐标为 (42−3,0)\left( 4\sqrt{2}-3,0 \right)

由此建立方程： (x−(42−3))2+y2=9\left( x-(4\sqrt{2}-3) \right)^{2}+y^{2}=9

得到： 2y=29−(x−(42−3))22y=2\sqrt{9-\left( x-(4\sqrt{2}-3) \right)^{2}}

S=x∗29−(x−(42−3))2=2x9−(x−(42−3))2S=x*2\sqrt{9-\left( x-(4\sqrt{2}-3) \right)^{2}}=2x\sqrt{9-\left( x-(4\sqrt{2}-3) \right)^{2}}

由此则可以直接使用定积分计算体积啦！积分区间是（）x∈（0,42）x\in（0,4\sqrt{2}）

V=∫042(2x9−(x−(42−3))2)dxV=\int_{0}^{4\sqrt{2}}\left( 2x\sqrt{9-\left( x-(4\sqrt{2}-3) \right)^{2}} \right)dx

V=∫042(2x−x2+(82−6)x−32+242)dxV=\int_{0}^{4\sqrt{2}}\left( 2x\sqrt{-x^{2}+(8\sqrt{2}-6)x-32+24\sqrt{2}} \right)dx

到这一步，发现没办法继续了，因为求不出来反导数(其反导数没有初等表达式)。惊喜不惊喜？意外不意外？如果你用其他方法建立坐标系，结果还是一样的。(如果你使用数值分析计算器来计算这个积分，结果大约是75.20978)

接下来你可能会以为我会找其他方法求出体积，但其实并没有。。。哈哈哈哈哈(后面如果我有新办法，会及时来补上)

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创建于: 2023-12-07 09:44:47
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