全知乎仅此一家！误差分析公式推导-物理竞赛 - 知乎

在这个文章我会推导大部分物理竞赛实验部分的公式

Part Part 0 0 ：几个提前需要知道的知识

首先，我们要知道 x±yx\pm y 其中 yy 的含义是什么：是方差

我们为什么这样写？是因为我们确定真实值很有可能在我们的范围内。

规定 <x><x> 是 xx 的平均值

然后我们把方差的平方写成

Var(x)=Var(x)= <(Δx)2>=Σ(x−<x>)2P(x)<(\Delta x)^2>=\Sigma (x-<x>)^2P(x)

=Σ(x2−2x<x>+<x>2)P(x)=\Sigma (x^2-2x<x>+<x>^2)P(x)

= <x2>−2<x><x>+<x>2<x^2>-2<x><x>+<x>^2

= <x2>−<x>2<x^2>-<x>^2

σ=(<x2>−<x>2)σ=\sqrt{(<x^2>-<x>^2)}

Part Part 11 : 证明在自变量的前提下加减不确定度的合成

由于是不相干的，便有 <x+y>=<x>+<y><x+y>=<x>+<y>

然后 <xy>=∫xyxyP(x∩y)d(xy)<xy>=\int_{xy} xyP(x\cap y)d(xy) = ∫xP(x)xdx∫yP(y)ydy\int_{x}P(x)xdx\int_{y}P(y)ydy = <x><y><x><y> ，其中独立的前提下有 P(x∩y)=P(x)P(y)P(x\cap y)=P(x)P(y)

对于求不确定度，我们关心的只是它的方差，便有

Var(x+y)=<(x+y)2>−<x+y>2Var(x+y)=<(x+y)^2>-<x+y>^2

= <x>2+2<x><y>+<y>2−(<x>+<y>)2<x>^2+2<x><y>+<y>^2-(<x>+<y>)^2

= <x2>−<x>2+<y2>−<y>2<x^2>-<x>^2+<y^2>-<y>^2

= Var(x)+Var(y)Var(x)+Var(y)

固得到 σx+y=(σx2+σy2)σ_{x+y}=\sqrt{(σ^2_{x}+σ^2_{y})}

然后如果我们想得到 σ(Nx)σ(Nx)

例题1：例如我们有52张扑克牌，我们知道总长和其不确定度，但是想知道一张的长度和不确定度。

我们得到 L1=L52/52L_1=L_{52}/52

不确定度是 Var(Nx)=<(Nx)2>−<Nx>2=N2Var(x)Var(Nx)=<(Nx)^2>-<Nx>^2=N^2Var(x) (1)

σ(x/52)=σ(x)/52σ(x/52)=σ(x)/52

然后这里要做一下区分

例题2：例如我们想测得100个同学的平均身高，且我们知道每个人的身高不确定度都是 σ(x)σ(x)

我们可以得到

Var(Σxi)Var({Σx_i}) = ΣVar(xi)ΣVar(x_i) , 所以 个σΣxi=ΣN个(σi)2σ_{Σx_i}=\sqrt{Σ_{N个}(σ_i)^2} = Nσx\sqrt{N} σ_x

由（1）得到 σΣxi/N=σΣxi/Nσ_{Σx_i/N}=σ_{Σx_i}/N = σx/Nσ_{x}/\sqrt N

例题一和二的区别是

例题1知道总确定度且想知道 σ(Nx)σ(Nx)

例题2是知道每一个小部分的不确定度且想知道平均的总不确定度

习题1： 求z=0.4x+0.6y 的不确定度， 已知 σ(x)=0.1σ(x)=0.1 , σ(y)=0.2σ(y)=0.2

提示：先找 0.4x 和 0.6y 的不确定度然后利用 σx+y=(σx2+σy2)σ_{x+y}=\sqrt{(σ^2_{x}+σ^2_{y})}

    • *

Part Part 22 ：

我们先观察下 f(x)f(x) 的不确定度怎么搞。由于 f(x)=f(x0)+f′(x0)δxf(x)=f(x_0)+f'(x_0)δx , 可以得到

δf=f′(x0)δxδf=f'(x_0)δx ，我们观察到由于 f′(x0)f'(x_0) 是一个常数，所以这™的不就是 σ(Nx)σ(Nx) 类型的合成嘛！

如果我们想知道 F(x,y)=xaybF(x,y)=x^ay^b 类型的不确定度该怎么办？没错，我们把这玩意的LHS和RHS 都 LN 一下， 得到

ln(F)=aln(x)+bln(y)ln(F)=aln(x)+bln(y) ，但由于 量纲）ln(量纲）ln(量纲） 很奇怪，我们就把里面都除一个量纲一样的数，得到

ln(F/F0)=aln(x/x0)+bln(y/y0)ln(F/F_0)=aln(x/x_0)+bln(y/y_0) , 两边都取微分，得到

dF/F0=adx/x0+bdy/y0dF/F_0=adx/x_0+bdy/y_0 ,

我们把 dF/F0,dx,dydF/F_0, dx,dy 当成 z,u,vz,u,v

则可以得到 zz 的不确定度是 σf/F0=(aσx/x0)2+(bσy/y0)2σ_{f}/F_0=\sqrt{(aσ_{x}/x_0)^2+(bσ_y/y_0)^2}

所以我们可以得到总结出来的公式

）σf/F0=Σ((∂lnF/∂xi）σxi)2σ_{f}/F_0=\sqrt{Σ((\partial lnF /\partial x_i）σ_{x_i})^2}

例题3: 若已知 1/2gsin(θ)t2=L1/2gsin(θ)t^2=L 和其他的不确定度，除了角度。我们如何才能得到角度的不确定度？

答案： ）σθ=tan(θ）(σl/L0)2+(2σt/t0)2+(σg/g)2σ_θ=tan(θ）\sqrt{(σ_l/L_0)^2+(2σ_t/t_0)^2+(σ_g/g)^2}

    • *

结语：这玩意我在网上找了好久好久没找到，b站上的视频也不推导，所以写了这篇文章。

送给正在努利干实验的你

客官看完了点个赞再走嘛ο(=•ω＜=)ρ⌒☆

原网址: 访问
创建于: 2023-12-07 09:49:04
目录: default
标签: 无

未标明原创文章均为采集，版权归作者所有，转载无需和我联系，请注明原出处，南摩阿彌陀佛，知识，不只知道，要得到

请先后发表评论
  • 最新评论
  • 总共0条评论