如图，一个圆柱底面直径6cm，倾斜45度，水面高4cm，求水的体积是多少？ - 知乎

物理方法

先把瓶子里的水精确地调整到题目要求的情况，然后量一下水的体积。。。或者把瓶子正过来，量一下水的高度，算一下圆柱的体积。。。

有条件的话，可以做一下误差分析。。。

首先还原一下题目：

原题作图

暂没什么巧方法，直接定积分。

把水块竖直切割成如下图红色矩形所示的无数微元薄片：

微元薄片

容易发现，矩形的底等于 232−(3−x)2=26x−x22\sqrt{3^2-(3-x)^2}=2\sqrt{6x-x^2} ，矩形的高等于 42−x4\sqrt{2}-x ，薄片的厚度等于 dxdx ， xx 的变化范围为 0→420\to4\sqrt{2} ，故所求体积等于

I=∫04226x−x2(42−x)dxI=\int_0^{4\sqrt{2}} 2\sqrt{6x-x^2}(4\sqrt{2}-x)dx

这玩意手算比较麻烦，直接软件积分得

I=[(27−362)arcsin⁡(1−x3)+I=\left[(27-36\sqrt2)\arcsin\left(1-\frac x3\right)+\right.

(9−122+x+42x−2x23)6x−x2]042\left.\left(9-12\sqrt2+x+4\sqrt2x-\frac{2x^2}3\right)\sqrt{6x-x^2}\right]_0^{4\sqrt2}

=9(3−42)[arcsin⁡(1−432)−π2]+=9(3-4\sqrt2)\left[\arcsin\left(1-\frac43\sqrt2\right)-\frac\pi2\right]+

2(5932−16)32−42\left(\frac{59}3\sqrt2-16\right)\sqrt{3\sqrt2-4}

≈75.20978045\approx75.20978045

最后总结一下，既然解析解是这么复杂的形式，那么一般来说就没有什么比积分更方便的解法了。

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创建于: 2023-12-07 09:44:19
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