导数第五式——Why拟合？How拟合？Come on！ - 知乎

繁花落尽，我心中仍有花落的声音。一朵，一朵，在无人的山间轻轻飘落。——席慕蓉《桐花》

前言

本篇文章主要是谈谈拟合的常见方法，拟合总是给人一种高级和巧妙地感觉。虽然考试不常用，但是可以拓宽我们的视野。

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正文

什么是拟合？

就是将原函数用另外一个函数代替。

下面就直接进入正题。

割线放缩

笔者认为，割线放缩其实就是拟合。

割线放缩的思路：整体的放缩方向是“往大放”，同时考虑到函数的凸性是“下凸”，于是想到封口处理。

注：什么时候使用割线放缩？笔者认为，就是看你证明不等式在和你的割线之间存不存在类似项。这道题呢，它是采用了分参的思想，所以直接看割线和值之间的关系就好了。

下面这道题也是可以利用割线放缩，请读者自行解决。

当时，证明：当x∈(1,2)时，证明：exx2−x+1>x当x\in (1,2)时，证明：\frac{e^x}{x^2-x+1}>x

那么如果函数是上凸的呢？这就引出另外一种拟合方法——切线放缩。

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切线放缩

例：设均为正实数，且求三元函数的最小值例：设x,y,z均为正实数，且x+y+z=1,求三元函数f(x,y,z)=3x2−x1+x2+3y2−y1+y2+3z2−z1+z2的最小值例：设x,y,z均为正实数，且x+y+z=1,\求三元函数f(x,y,z)=\frac{3x^2-x}{1+x^2}+\frac{3y^2-y}{1+y^2}+\frac{3z^2-z}{1+z^2}的最小值

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切割线放缩

极点值拟合

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类似函数拟合

这个我们用一道例题讲解。

方法一：

他是如何构造函数的呢？

我们可以先画出原函数图像，发现他有点类似三次函数。

因此我们想到用三次函数去拟合原函数。

令解得：因此g(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,令f(0)=g(0),f′(0),=g′(0),f(−2)=g(−2),f′(−2)=g′(−2)解得：C=D=0,A=1e2,B=3e2因此g(x)=1e2x3+3e2x2g(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D,\令f(0)=g(0),f'(0),=g'(0),f(-2)=g(-2),f'(-2)=g'(-2)\ 解得：C=D=0,A=\frac{1}{e^2},B=\frac{3}{e^2}\ 因此g(x)=\frac{1}{e^2}x^3+\frac{3}{e^2}x^2

类似的，类二次函数曲线，我们用二次函数拟合。

以此类推...

再给个作业题吧。

证明：当时，证明：当x>−1时，ex>2x+ln⁡(x+1)证明：当x>-1时，e^x>2x+\ln (x+1)

提示：寻找过渡函数，因为是下凸函数，是上凸函数，因此可以尝试在两者之间插入一个二次函数（其他也可）提示：寻找过渡函数，因为y=ex是下凸函数，y=2x+ln⁡(x+1)是上凸函数，因此可以尝试在两者之间插入一个二次函数y=35x2+1310x+45（其他也可）提示：寻找过渡函数，因为y=e^x是下凸函数，y=2x+\ln (x+1)是上凸函数，因此可以尝试在两者之间插入一个二次函数y=\frac{3}{5}x^2+\frac{13}{10}x+\frac{4}{5}（其他也可）

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泰勒二次拟合

这个《导数的秘密》上面讲的比较好。

泰勒二次拟合主要用于一些复杂函数，例如对数函数、指数函数等等。

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线性拟合

线性拟合和泰勒二次拟合适用条件差不多，都是适用于 x1+x2∼2x0x_1+x_2\sim2x_0 类型。

例：已知函数的图像与直线交于两点。证明：例：已知函数f(x)=xln⁡x的图像与直线y=m交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点。证明：x1+x2>2e例：已知函数f(x)=x\ln x的图像与直线y=m交于A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)两点。证明：x_1+x_2>\frac{2}{e}

故整理得：故|x2−12|−12<x2ln⁡x2=x1ln⁡x1<|x1−12|−12,整理得：x1+x2<1故|x_2-\frac{1}{2}|-\frac{1}{2}<x_2\ln x_2=x_1\ln x_1<|x_1-\frac{1}{2}|-\frac{1}{2},整理得： \x_1+x_2<1

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结尾

拟合差不多就是这些，掌握了它的本质这样才能以一应万变。其实，我们平常使用的一些常用不等式或者常用不等式的加强减弱式也是拟合，我们可以比较理解。

一般来说，

切线放缩、割线放缩、切割线放缩、极点值拟合用于单调函数；

泰勒二次拟合、线性拟合用于具有极值的函数；

类似函数拟合使用比较广，但计算也相对麻烦。

参考文献：
金毅 例谈“以直代曲”思想在证明代数不等式中的应用 文章编号：1008-0333(2022)28-0046-04

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创建于: 2023-08-17 10:01:06
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