知乎盐选 | MATLAB 从基础到精通 - 7.4 拟合和插值
7.4 拟合和插值
拟合和插值在数据处理中是非常重要的，两者都可以通过离散的函数数据点，估计出函数在任意点的值，所不同的是：拟合可以确定函数准确的表达式，通过调整函数的系数，使得函数在已知点的估计值与真实情况下已知点的值差距最小；而插值通过函数在有已知点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
拟合和插值是离散函数逼近的有效方法，通过本节的学习读者将掌握简单的数据拟合和插值方法，今后在实际应用中可根据不同的问题采用不同的方法。
7.4.1 拟合基础
在科学实验中我们往往需要研究某些变量间是否存在什么关系，是否可以建立稳定的函数表达式，这样通过一些变量即可预测某些关键参数。于是，往往在实验中我们会获取一组离散的观测数据，如(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，数据拟合要解决的问题即确定一函数 y=f（x）能较为准确地表达这些变量间的关系。
数据拟合主要是要找到能较好反映观测数据的近似函数，寻求整体误差最小。逼近离散数据的数值拟合常采用的拟合方法为最小二乘拟合，而根据拟合模型的类型可以分为线性拟合和非线性拟合，下面具体讲述如何在 MATLAB 中进行线性拟合和非线性拟合。
7.4.2 线性拟合
本节关于线性拟合的内容主要介绍常用的多项式拟合，其他的拟合方法将在曲线拟合章节中详细讲述。多项式拟合主要用于拟合函数表达式为多项式的数值拟合问题，即确定满足已知数据点的多项式函数的系数。在 MATLAB 中，用函数 polyfit()来求解多项式的系数，之前介绍的多项式求值函数 polyval()即可方便地计算出任意点上的函数近似值。
多项式拟合函数 polyfit()的调用格式如下。
● p=polyfit（x,y,n）：其中 x 和 y 为待拟合数据点的值，n 为离散数据需要逼近的多项式的阶数，返回参数 p 为拟合的多项式的系数向量，长度为 n+1。
【例 7.45】多项式拟合。
x=0:0.1:1
y=[-0.4,1.5,3.3,6,8,5.4,7.6,7.96,8.4,9.3,11.2];
plot(x,y,'k.','markersize',10)
p1=polyfit(x,y,3)
s1=polyval(p1,x)
hold on;
plot(x,s1,'-');
执行上述程序，生成如图 7.7 所示的多项式拟合的效果图。
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图 7.7 多项式拟合效果图
7.4.3 非线性拟合
函数 nlinfit()和 lsqcurvefit()可用于求解 MATLAB 的非线性拟合问题，下面详细介绍其使用方法。
函数 nlinfit()的调用格式如下。
● beta = nlinfit（x,y,fun,beta0）：x 和 y 为观测数据的自变量和因变量，fun 为待拟合的模型表达式，可以为 y=f（x）的 M 文件的函数名，或者由 inline()函数表示，beta0 是模型初始参数的估计值，计算后获得的返回值 beta 为最小二乘估计得出的模型最佳系数。
● [beta，r，J] = nlinfit（x,y,fun,beta0）：曲线拟合后的返回参数 r 为拟合的残差，而 J 为残差 r 对 a 的 Jacobi 向量构成的矩阵。
● [...] = nlinfit（x, y, fun, beta0, options）：参数 options 对拟合过程进行设置，其中包括 MaxIter（最大叠代次数）、TolFun（函数残数平方和允许值）、TolX（拟合系数允许的误差值）和 Display（控制拟合过程的显示，其中 off 表示不显示输出、iter 显示每次迭代的结果、final 只显示最终结果、notify 只在函数不收敛的时候显示结果）。
函数 lsqcurvefit()的调用格式如下。
[a， rnorm， r， exitflag]=lsqcurvefit（fun, a0, X,Y, lb,ub,options）：其中 fun 为待拟合的模型表达式，可以为 y=f（x）的 M 文件的函数名，或者由 inline()函数表示，a0 为模型系数的初始估计值，lb 和 ub 分别为拟合系数的预估下界和上界，参数 options 用于拟合过程设置，同函数 nlinfit()，函数返回的参数中 a 为拟合估计系数，rnorm 为误差平方和，r 为拟合模型的残差，exitflag 为运行情况。
【例 7.46】非线性拟合。
（1）创建非线性拟合函数。
function f=myfun1(a,x)
f=a(1)+a(2)\*exp(-0.02\*a(3)*x)
（2）利用函数 nlinfit()进行非线性拟合。
x=1:10:100；
y=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]；
a0=[0.2,0.05,0.05]；
options=statset（'MaxIter', 100, 'TolFun', 1e-4,'Display','final'）
a=nlinfit（x, y, 'myfun1', a0, options） % 利用函数 nlinfit()进行非线性拟合
f= myfun1（a,x）
拟合后的结果如下。
a =
-40.7170 45.5431 -0.0235
f =
Columns 1 through 6
4.8476 5.0624 5.2783 5.4953 5.7132 5.9322Columns 7 through 10
6.1522 6.3732 6.5953 6.8184
（3）利用函数 lsqcurvefit()进行非线性拟合。
x=1:10:100；
y=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]；
a0=[0.2,0.05,0.05]；
a=lsqcurvefit （'myfun1',a0,x,y） % 利用函数 lsqcurvefit()进行非线性拟合
f= myfun1（a,x）
拟合后的结果如下。
a =
-1.5718 6.4484 -0.1457
f =
Columns 1 through 6
4.8955 5.0867 5.2835 5.4862 5.6948 5.9096Columns 7 through 10
6.1308 6.3585 6.5929 6.8343
7.4.4 插值基础
在生产实践中，有时自变量与因变量间的函数关系并不能写出明确的函数表达式，或者表达式很复杂，此时为了得出函数在若干点的函数值可以通过数据插值的方法。插值是通过已知的观测点（xi,yi）建立一个简单的、连续的解析模型 g（x），用于逼近已知的观测点，从而推测非观测点处的状况。常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值、分段线性插值法等。
插值主要用于根据已知点估计未知点，和拟合的不同点在于：插值给出的是数据点，而非拟合的模型；插值函数应通过所有给定的已知数据点，而拟合是要让数据点很好地逼近函数，控制模型整体的误差最小。
插值问题一般分为一维插值、二维插值和高维插值问题，下面从这几个角度详细地叙述如何利用 MATLAB 实现数据插值。
1.一维插值
在 MATLAB 中，函数 interp1()可用于一维数据插值，其调用格式如下。
● yi = interp1（x,y,xi）：参数 x 和 y 为已知的数据点，xi 为需要通过插值获取的点，默认的插值方法为 linear（线性插值），yi 为通过一维插值函数获得的点 xi 处的 yi 值。
● yi = interp1（y,xi）：插值的数据点中 x 取 1：length（y），返回插值点 xi 处的 yi 值。
● yi = interp1（x,y,xi,method）：指定插值的方法，常用的插值方法有 nearest（最邻近点插值）、linear（线性插值）、spline（三次样条插值）、cubic（立方插值）和 pchip（三次 Hermite 插值）。
● yi = interp1（x,y,xi,method,'extrap'）：对于超过已知点 x 范围的插值点 xi 执行外插值方法 extrap。
● yi = interp1（x,y,xi,method,extrapval）：对于超过已知点 x 范围的插值点 xi 取确定的插值点，一般为 NaN 或 0。
下面对各种数据插值方法做简单介绍。
● nearest（最邻近点插值）：插值点估计函数值为已知点中最接近插值点的值，该算法是最快的插值方法，但是数据平滑最差，插值后的数据是不连续的。
● linear（线性插值）：插值点估计函数值通过线性函数计算所得，该算法执行速度较快，有较高的插值精度，为插值函数的默认设置。
● spline（三次样条插值）：插值点估计函数值通过三次多项式计算所得，该算法精度高，能获得最平滑的插值曲线，但执行速度最慢。
● cubic（立方插值）或 pchip（三次 Hermite 插值）：插值点估计函数值通过 Hermite()函数计算所得，该算法较慢，但精度高，平滑度好。
综上，不同的插值算法的原理不同，可能会得到不同精度的解，在使用中用户应根据问题的实际需要选择合适的插值方法。
【例 7.47】一维插值。
x=1:10:100;
y=[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
t=1:1:100;
y1=interp1(x,y,t,'nearest');
subplot(2,2,1);
plot(x,y,'r*',t,y1)
title(『最邻近点插值』)
y2=interp1(x,y,t,'linear');
subplot(2,2,2);
plot(x,y,'r*',t,y2,'b:')
title(『线性插值』)
y3=interp1(x,y,t,'spline');
subplot(2,2,3);
plot(x,y,'r*',t,y3)
title(『样条插值』)
y4=interp1(x,y,t,'cubic');
subplot(2,2,4);
plot(x,y,'r*',t,y4,'k-')
title(『三次插值』)
执行上述程序，生成如图 7.8 所示的不同的一维插值效果图。
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图 7.8 不同的一维插值效果
2.二维插值
MATLAB 中提供了函数 interp2()和 griddata()用于二维数据的插值，其中函数 interp2()主要用于二维网格数据的插值，而函数 griddata()可对任意分布的数据进行二维插值。
函数 interp2()的调用格式如下。
● zi = interp2（x,y,z,xi,yi）：x 和 y 为已知数据点在 x 轴和 y 轴上的坐标点，z 为相应已知点上的函数值，要求已知点 x 和 y 大小相同、单调，xi 和 yi 为插值点，要求 xi 和 yi 必须在已知点 x 和 y 范围内，如果查过范围，将得到「NaN」值，参数 zi 为插值函数范围的插值结果。
● zi = interp2（z,xi,yi）：x 和 y 默认情况下分别为数据 z 对应的行号和列号。
● zi = interp2（x,y,z,xi,yi,method）：参数 method 用于指定二维插值的方法，包括 nearest（最邻近点插值）、linear（线性插值，默认）、spline（三次样条插值）和 cubic（立方插值）。
● zi = interp2（...,method, extrapval）：设置当插值点超过已知点后的插值的值为 extrapval。
【例 7.48】二维插值网格插值。
[x,y,z]=peaks(10);
mesh(x,y,z)
[xi,yi]=meshgrid(-10:0.5:10,-10:0.5:10);
z1=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');
z2=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');
z3=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
z4=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');
subplot(2,2,1)
mesh(xi,yi,z1)
title(『最邻近点插值』)
subplot(2,2,2)
mesh(xi,yi,z2)
title(『线性插值』)
subplot(2,2,3)
mesh(xi,yi,z3)
title(『样条插值』)
subplot(2,2,4)
mesh(xi,yi,z4)
title(『三次插值』)
执行上述程序，生成如图 7.9 所示的不同的二维网格插值效果图。
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图 7.9 不同的二维网格插值效果
函数 griddata()的调用格式如下。
● zi = griddata（x,y,z,xi,yi）：x 和 y 是已知数据组，z 是相对应的已知点上的函数值，xi 和 yi 是需要插值的数据点，zi 为函数返回的插值结果。
● [...] = griddata（...,method）：设置二维数据插值的方法包括 nearest（最邻近点插值）、linear（线性插值，默认）、cubic（立方插值）和 v4（MATLAB 4.0 版本中提供）。
【例 7.49】利用函数 griddata()进行二维插值。
[x,y]=meshgrid(-10:2:10,-15:1:10);
z=x.^2+y.^2;
[xi,yi]=meshgrid(-2:0.1:2,-5:0.1:5);
z1=griddata(x,y,z,xi,yi,'nearest');
z2=griddata(x,y,z,xi,yi,'linear');
z3=griddata(x,y,z,xi,yi,'cubic');
z4=griddata(x,y,z,xi,yi,'v4');
subplot(2,2,1)
surf(xi,yi,z1)
title(『最邻近点插值』)
subplot(2,2,2)
surf(xi,yi,z2)
title(『线性插值』)
subplot(2,2,3)
surf(xi,yi,z3)
title(『三次插值』)
subplot(2,2,4)
surf(xi,yi,z4)
title(『v4 插值』)
执行上述程序，生成如图 7.10 所示的不同的二维插值效果图。
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图 7.10 不同的二维插值效果
3.高维插值
MATLAB 支持三维插值及三维以上的插值，可以通过函数 interp3（三维插值函数）、interpn（n 维插值函数）和 ndgrid（n 维网格数据插值）实现。其使用方法与 interp2 类似，直接通过实例向读者演示这些函数的使用。
【例 7.50】高维插值。
[x,y,z,v] = flow(10);
[xi,yi,zi] = meshgrid(-1:0.05:1, -1:0.05:1, -1:0.05:1);
vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi);
slice(xi,yi,zi,vi,[0.6 0.8],0.5,[-0.2 0.2])
执行上述程序，生成如图 7.11 所示的高维插值效果图。
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图 7.11 高维插值效果
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创建于: 2023-08-17 09:58:13
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