从扭转轴的扭转强度来看，圆形截面和矩形截面哪一个截面形状更为合理，为什么？ - 知乎

圆截面的抗扭刚度和抗扭强度均优于矩形截面

1、矩形截面的扭转

矩形截面的扭转比较复杂，要考虑截面的翘曲，可采用薄膜比拟获得解析解。记材料剪切模量为 GG ，截面的长、短边为 a,ba,b ，边长比值 η=a/b≥1\eta=a/b\geq1 ，截面积 S=abS=ab ，所受扭矩为 TT ，则单位长度扭转角：

θ=Tα(η)Gab3=Tα(η)ηGS2=TA(η)GS2(1)\theta=\frac{T}{\alpha(\eta) Gab^3}=\frac{T}{\frac{\alpha(\eta)}{\eta} GS^2}=\frac{T}{A(\eta)GS^2}\quad(1)

其中双曲级数函数 ：

α(η)=13−64ηπ5∑m=1,3,5∞1m5tanh⁡ηmπ2∈[0.141,0.333]\alpha(\eta)=\frac{1}{3}-\frac{64}{\eta\pi^5}\sum_{m=1,3,5}^{\infty}\frac{1}{m^5}\tanh\frac{\eta m \pi}{2}\in[0.141,0.333]

函数 A(η)=α(η)/ηA(\eta)=\alpha(\eta)/\eta 为减函数，具体取值为：

A(1.0)=0.141;A(1.0)=0.141;

A(1.2)=0.138;A(1.2)=0.138;

A(1.5)=0.130;A(1.5)=0.130;

............

A(∞)→0A(\infty)\rightarrow0

最大剪应力发生于长边中点，数值为：

τmax=Tβ(η)ab2=Tβ(η)ηS1.5=TB(η)S1.5(2)\tau_{max}=\frac{T}{\beta(\eta) ab^2}=\frac{T}{\frac{\beta(\eta)}{\sqrt{\eta}} S^{1.5}}=\frac{T}{B(\eta)S^{1.5}}\quad(2)

其中双曲级数函数 ：

β(η)=13−64ηπ5∑m=1,3,5∞1m5tanh⁡ηmπ21−8π2∑m=1,3,5∞1m2cosh⁡ηmπ2∈[0.208,0.333]\beta(\eta)=\frac{\frac{1}{3}-\frac{64}{\eta\pi^5}\sum_{m=1,3,5}^{\infty}\frac{1}{m^5}\tanh\frac{\eta m \pi}{2}}{1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{m=1,3,5}^{\infty}\frac{1}{m^2\cosh\frac{\eta m \pi}{2}}}\in[0.208,0.333]

函数 B(η)=β(η)/ηB(\eta)=\beta(\eta)/\sqrt{\eta} 亦为减函数，具体取值为：

B(1.0)=0.208;B(1.0)=0.208;

B(1.2)=0.199;B(1.2)=0.199;

B(1.5)=0.187;B(1.5)=0.187;

............

B(∞)→0B(\infty)\rightarrow0

观察式（1）和（2）可知，在截面积 SS 相同的情况下，矩形截面随着长宽比 η\eta 增大，刚度和强度都会降低，因而在矩形截面中，最佳的抗扭截面是正方形，此时：

θ=T0.141GS2(3)\theta=\frac{T}{0.141GS^2}\quad(3)

τmax=T0.208S1.5(4)\tau_{max}=\frac{T}{0.208S^{1.5}}\quad(4)

2、圆形截面的扭转

圆截面扭转最简单，扭转过程中保持平截面。设截面直径 dd ，面积 S=πd2/4S=\pi d^2/4 ，则单位长度扭转角：

θ=TGJ=TG(πd4/32)=T0.159GS2(5)\theta=\frac{T}{GJ}=\frac{T}{G(\pi d^4/32)}=\frac{T}{0.159GS^2}\quad(5)

最大剪应力出现在边缘，数值为：

τmax=TWt=T(π/16)d3=T0.282S1.5(6)\tau_{max}=\frac{T}{W_t}=\frac{T}{({\pi/16})d^{3}}=\frac{T}{0.282S^{1.5}}\quad(6)

3、结论

1）比较式（3）和式（5）可知，同等截面积和材料条件下，圆截面刚度至少是矩形截面刚度的 1.121.12 倍；

2）比较式（4）和式（6）可知，同等截面积和扭矩条件下，圆截面最大剪应力不高于矩形截面最大剪应力的 0.740.74 倍；

所以得到结论：就抗扭刚度和强度而言，圆截面均优于矩形截面。

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创建于: 2023-12-07 09:41:39
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