1. 一元三次方程通用解 - 知乎 - 程序猿·D·安宇雨 DeepMind

1. 一元三次方程通用解 - 知乎

安宇雨 - 随手采集
2023-12-06 10:01:41
随手采集
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中学学过一元二次方程的求解公式，那有没有一元三次方程的求跟公式呢？

1. 一元三次方程通用解

1.1. 化归思想

回顾一元二次方程：

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

它的公式解的来源于通过配方将问题转化为一个简单二次方程和一个一般一次方程：

x2=a(a∈R)ax+b=0(a≠0)x^2=a(a\in\mathbb{R}) \ ax+b=0(a\neq 0)

即得到如下式子：

(x+b2a)2=b2−4ac4a2(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

要凑出一个完全平方的目的，因为这样可以将问题转化为已知的问题。

我们总结配方技巧：本质就是化归思想，而化归就是将未知问题转化为已知问题。

1.2. 一元三次方程

给出实数系三次方程的一般形式：

(1)ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)\tag{1}

我们采用化归思想来寻找公式解：

1.2.1. 化归为缺省二次项的三次方程

为了归一化最高次，我们总可以除以最高次的系数a，得到如下多项式：

，其中x3+bax2+cax+da=0，其中b′=ba,c′=ca,d′=dax^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0，其中b'=\frac{b}{a},c'=\frac{c}{a},d'=\frac{d}{a}

即公式(1)转为如下形式

x3+b′x2+c′x+d′=0x^3+b'x^2+c'x+d'=0

到这步的时候，没有任何方向的时候，开始思考如何减少次数项的次数，于是就有了z=x+b′az=x+\frac{b'}{a}，从而可以消去二次项，得到：

其中z3+pz+q=0,其中p=c′−b′23,q=2b′327−b′c′3+d′z^3+pz+q=0,其中p=c'-\frac{b'^2}{3},q=\frac{2b'^3}{27}-\frac{b'c'}{3}+d'

1.2.2. 归结为解二次方程

这一步非常巧妙，通过多元来降低次数。令z=u+vz=u+v,得到

(2)(u3+v3)+(u+v)(3uv+p)+q=0(u^3+v^3)+(u+v)(3uv+p)+q=0 \tag{2}

由于人为多引入了一个自由变量出来，我们可以对方程(2)找两组约束（且要满足原来方程）出来构成方程组求解，从而与方程(1)的解是等价的。

首先我们必须指定的约束为：u3+v3+q=0u^3+v^3+q=0，然后另外一个约束可以是或3uv+p=0或u+v=03uv+p=0或u+v=0，如何从这两个约束里选择呢，如果我们吧u3,v3u^3,v^3看成两个数的话，得到了两个数之和，联想一元二次方程韦达定理，还差两个数之积，于是从就选择了3uv+p=03uv+p=0，从而

u3+v3=−qu3v3=−p327u^3+v^3=-q\ u^3v^3=-\frac{p^3}{27}

则令，U=u3,V=v3，U,VU=u^3,V=v^3，U,V是如下方程两根

X2+qX−p327=0X^2+qX-\frac{p^3}{27}=0

从而得到

X=12(−q±q2+4p327)X=\frac{1}{2}(-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}} )

不妨取

u3=12(−q+q2+4p327)3uv+p=0u^3=\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}) \ 3uv+p=0

因此Δ=q2+4p327\Delta=q^2+\frac{4p^3}{27}也被称为一元三次方程的判别式，决定了方程在实数系中是否有解。

1.2.3. 归结为解三次方程x3=z0x^3=z_0

我们现在把实数系扩充到复数系来看，不妨设:

）u3=12(−q+q2+4p327）=reiθu^3=\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}）=re^{i\theta}\\

三个根分别为

u0=12(−q+q2+4p3273=r13eiθ3u1=r13ei(θ+2π)3=u0e2πi3u2=r13ei(θ+4π)3=u0e4πi3u_0=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}=r^\frac{1}{3}e^\frac{i\theta}{3} \ u_1=r^\frac{1}{3}e^\frac{i(\theta+2\pi)}{3}=u_0e^\frac{2\pi i }{3}\ u_2=r^\frac{1}{3}e^\frac{i(\theta+4\pi)}{3}=u_0e^\frac{4\pi i}{3}

由于3uv+p=03uv+p=0，所以z的三个根分别为：

z0=r13eiθ3−p3r−13ei−θ3=u0+v0z1=r13eiθ+2π3−p3r−13ei−θ−2π3=u0e2πi3+v0e−2πi3z0=r13eiθ+4π3−p3r−13ei−θ−4π3=u0e4πi3+v0e−4πi3z_0=r^\frac{1}{3}e^{i\frac{\theta}{3}}-\frac{p}{3}r^{-\frac{1}{3}}e^{i\frac{-\theta}{3}} =u_0+v_0\ z_1=r^\frac{1}{3}e^{i\frac{\theta+2\pi}{3}}-\frac{p}{3}r^{-\frac{1}{3}}e^{i\frac{-\theta-2\pi}{3}}=u_0e^\frac{2\pi i}{3}+v_0e^\frac{-2\pi i}{3}\ z_0=r^\frac{1}{3}e^{i\frac{\theta+4\pi}{3}}-\frac{p}{3}r^{-\frac{1}{3}}e^{i\frac{-\theta-4\pi}{3}}=u_0e^\frac{4\pi i}{3}+v_0e^\frac{-4\pi i}{3}

以及：

v0=12(−q−q2+4p3273v_0=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}

进一步我们得到：

z1=u0+v0=12(−q+q2+4p3273+12(−q−q2+4p3273z2=u0e2πi3+v0e−2πi3=−1+3i212(−q+q2+4p3273+−1−3i212(−q−q2+4p3273z2=u0e4πi3+v0e−4πi3=−1−3i212(−q+q2+4p3273+−1+3i212(−q+q2+4p3273z_1=u_0+v_0=\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}} \ z_2=u_0e^\frac{2\pi i}{3}+v_0e^\frac{-2\pi i}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}} \ z_2=u_0e^\frac{4\pi i}{3}+v_0e^\frac{-4\pi i}{3}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}

即我们得到一元三次方程的公式解。

1.3. 一元三次方程方程的韦达定理

一元三次方程一般形式：

ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0

进一步转为

，其中x3+bax2+cax+da=0，其中b′=ba,c′=ca,d′=dax^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0，其中b'=\frac{b}{a},c'=\frac{c}{a},d'=\frac{d}{a}

在上面我们讨论了一元三次方程的公式解，本节讨论一元三次方程的韦达定理：

设一元三次方程的三根为x1,x2,x3x_1,x_2,x_3，则有：

(x−x1)(x−x2)(x−x3)=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2+x3)x−x1x2x3=x3+bax2+cax+da=0(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2+x_3)x-x_1x_2x_3 \ =x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0

通过系数比较，我们得到韦达定理——根与系数的关系：

x1+x2+x3=−bax1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=−dax_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a} \ x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}