数据拟合（Data Fitting）算法 - 知乎

（一）GUIDANCE

1.1 什么是数据拟合

已知一组（二维）数据，即平面上的 nn 个点 $(x\_i,y\_i),\\quad \\forall i = 1,2,\\cdots,n$ ， xix_i 互不相同，寻求一个函数（曲线） f(x)f(x) ，使得 f(x)f(x) 在某种意义（准则）下与所有的数据点最为接近，这个过程就是数据拟合

1.2 曲线拟合的线性最小二乘法

一般情况下，我们指的“准则”就是线性最小二乘法，线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法

本文的符号中，字母上加 ^ 符号表示拟合值

我们假设通过拟合得到的线性函数是：yi^=k^xi+b^\widehat{y_i} = \widehat{k}x_i+\widehat{b}

那么经过最小二乘法确定参数的方法就是：k^,b^=argk,bmin(∑i=1n|yi−yi^|)\widehat{k},\widehat{b}=arg_{k,b}min(\sum_{i=1}^n|y_i-\widehat{y_i}|)

经过数学推导，可以得到线性最小二乘法拟合的参数求解公式：

Image

Image

事实上，拟合的方法远不止线性拟合，这里先以线性拟合作为引子

1.3 数据拟合和数据插值的区别

这里直接粘贴写在另一篇笔记中的内容：
  • 插值：求已知有限个数据点的近似函数。数模比赛中，常常需要根据已知的样本点进行数据的处理和分析，对于数据量少到不足以去分析问题，而必须生成一些合理的数据，这时我们就会考虑采用插值算法
  • 拟合：已知有限个数据点，求近似函数，在样本点较少的情况下，用拟合算法拟合出来的曲线并没有插值算法得到的准确。如果样本点太多，那么插值算法得到的多项式次数过高，会造成“龙格现象”，尽管插值可以通过分段进行解决，但有时我们更希望得到一个精确的函数，因此我们倾向于使用拟合算法进行替代
拟合不要求过已知的数据点（插值则要求），而是按某种意义下（一般是最小二乘意义下）得到和所有点的分布最“接近”的函数
插值和拟合在使用时需要进行区分，根据不同的使用情景来确定不同的方法

（二）拟合效果评价

我们一般依据下面三个指标来确定拟合的好坏：

2.1 误差平方和

误差平方和：SSE=∑i=1n(yi−yi^)2SSE = \sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i})^2

根据误差平方和还能给出均方差的计算公式

MSE=SSEn=1n∑i=1n(yi−yi^)2MSE = \frac{SSE}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i})^2

2.2 回归平方和

回归平方和：SSR=∑i=1n(yi^−y¯)2SSR = \sum_{i=1}^n(\widehat{y_i}-\overline{y})^2

2.3 拟合优度

总体平方和：SST=∑i=1n(yi−y¯)2SST = \sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2

不难看出会有：SST=SSE+SSRSST=SSE+SSR

我们可以用可以用拟合优度（可决系数）作为拟合好坏的评价指标：

0≤R2=SSRSST=SST−SSESST≤10 \leq R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{SST-SSE}{SST} \leq 1

那么， SSRSST\frac{SSR}{SST} 越大，即 R2R^2 越接近 11 ，就有误差越小，拟合效果越好

ATTENTION：使用这种评价标准要求参数是一次的，在设计拟合函数时应该注意

（三）多项式拟合函数 polyfit

3.1 函数原型

  • 多项式拟合函数 coeff = polyfit(x_sample, y_sample, degree)
  • 第一个参数传入样本点的横坐标数组
  • 第二个参数传入样本点的纵坐标数组
  • 第三个参数传入我们需要构造的多项式的次数
  • 返回值 coeff 是多项式的系数数组
  • 多项式值计算函数 y_output = polyval(ceoff, x_input)
  • 第一个参数传入多项式的系数数组
  • 第二个参数传入多项式的自变量值数组
  • 返回值 y_output 是多项式的因变量值数组

3.2 使用示例

以下代码保存在 polyfit_test.m 中，可前往 GitHub 仓库下载

x_sample = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];

y_sample = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];

plot(x_sample, y_sample, 'bo');

hold on;

coeff = polyfit(x_sample, y_sample, 3);   %三阶多项式拟合

x_input = 0:.2:10;  

y_output = polyval(coeff, x_input);  %求对应y值

plot(x_input, y_output, 'r-');
输出结果如下，蓝色散点图表示输入样本点，红色实线表示拟合函数

（四）万能模型拟合 fit

注意：在 MATLAB 中还有一个叫做 ninfit 的函数，两个函数有一定的区别，这里只介绍 fit
fit 函数也是在曲线拟合工具箱 Curve Fitting Toolbox 中采用的函数

4.1 函数原型

[fitresult, gof] = fit( xData, yData, fit_type, options );

  • 第一个参数传入样本点的自变量坐标数组
不一定是 xx 轴坐标，也可以是 x,yx,y 两轴坐标合并为一个数组作为自变量，如下
[fitresult, gof] = fit( [xData, yData], zData, ft, 'Normalize', 'on' );
  • 第二个参数传入样本点的因变量坐标数组
  • 第三个参数传入拟合函数的拟合类型，需要先用 fittype 函数处理，如下
  • 如果拟合类型是 fit 函数已经内置的类型，直接使用 ft = fittype( 'gaussl' ); % 高斯拟合
  • 如果拟合类型不是 fit 函数已经内置的类型，而是我们自己新定义的类型，那么可以如下操作
   % 下面采用匿名函数的方法进行定义，但你并不需要精通掌握匿名函数的规则，只需要知道下面的格式和规则
   % 命名格式是：fittype(@(参数列表) 拟合函数形式)
   % 注意自变量必须是 x
   % 注意参数要放在自变量前面，在下面的代码中，匿名函数参数的形式为(a, b, c, x)，便遵循了这一规则
   ft = fittype(@(a, b, c, x) a*x^3 + b* x^2 + c*x );
  • 第一个返回值是拟合得到的函数模型结果
  • 第二个返回值是包含拟合优度信息的结构体
如何使用这两个返回值会在（五）中介绍，它们等价于（五）中的 fittedmodel 和 goodness

4.2 使用示例

以下代码保存在 fit_test1.m 中，可前往 GitHub 仓库下载

function [fitresult, gof] = fit_test2(x_sample, y_sample, z_sample)
%CREATEFIT(X_SAMPLE,Y_SAMPLE,Z_SAMPLE)
%  创建一个拟合。
%
%  要进行 '傅里叶拟合2' 拟合的数据:
%      X 输入: x_sample
%      Y 输入: y_sample
%      Z 输出: z_sample
%  输出:
%      fitresult: 表示拟合的拟合对象
%      gof: 带有拟合优度信息的结构体

%% 拟合: '傅里叶拟合2'。
[xData, yData, zData] = prepareSurfaceData( x_sample, y_sample, z_sample );

% 设置 fittype 和选项。
ft = 'linearinterp';

% 对数据进行模型拟合。
[fitresult, gof] = fit( [xData, yData], zData, ft, 'Normalize', 'on' );
用图窗显示结果如下

（五）利用 Curve Fitting Toolbox 进行拟合

没有安装该应用需要提前安装：Curve Fitting Toolbox
这个工具箱事实上是调用了 MATLAB 的内置函数，并且提供了方便可视化界面和绘图操作

利用工具箱进行函数的操作非常容易，简要步骤如下：

  1. 在当前工作区创建数据
>> x_sample = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
>> y_sample = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
>> x_input = 0:.2:10;
  1. 打开曲线拟合器，在曲线拟合器中选择数据（会自动在列表中呈现工作区数据以供选择）

  1. 选择不同模型，优化拟合结果
该工具箱能够自动导出拟合优度，如下：

  1. 导出拟合模型、图窗，如下：
下图为拟合图窗

拟合模型可以导出到工作区，然后直接作为函数调用
  • 我们将模型导为 fittedmodel ，就能够直接在命令行中输入 >> fittedmodel(x_input) 进行预测，其中 x_input 指的是待预测数组，这个函数将输出预测得到的值 y_output，直接在命令行中输入 >> fittedmodel 也可以直接查看拟合的函数模型
  • 我们将合优度导为 goodness ，可以直接在命令行中输入 >> goodness 查看拟合优度结构体字段
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创建于: 2023-08-16 16:05:18
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