数学越学习越抽象，到一定程度三维空间的想象力已经无法满足学习的需要了，到这个时候应该如何学习数学？ - 知乎

安宇雨 - 随手采集
2018-09-29 12:06:00
商业智能
高等数学思想想法-Mind

写一篇文章回答数学想象力不够的问题，至于贴图来源是自己N年前的个人笔记（感谢平板电脑大大减轻截图劳动），借知乎平台分享一点人生的经验。愿以本文献给一位喜欢数学的女孩。注：如果有人只想看文章中心思想，请直接翻到本文最后一段。

看来多数人还是看不懂，增加几张图吧。科普只能到这个程度了，再简化已经超出我的能力圈了。

我读本科时的想象力不是很好，制图类课程学得很痛苦，那时我意识到我的想象力很一般。大一过后我对数学的喜欢超过了物理类课程。

本科时，个人关于几何想象力的看法：总以为大神们靠着惊人的想象力，获得神之一手，不好意思走错片场了，是神之指引。

研究生时发现在高维几何里很多地方反三维直观，比如没有上下左右之分，而“洞”也分维数，1维洞，2维洞，3维洞等等。实际研究高维几何较多依靠代数方法，比如上同调。这一阶段我也有能力读一些数学大师们的原始文献了。渐渐地，有一种感悟：

我把几何想象力作为一种记录数学思想，概念或定理的载体。

我把我对某个定理的理解抽象成一副几何图形。以证明费马大定理使用的谷山-志村猜想为例。它断言：椭圆曲线可以被双曲平面H单值化。
一个孰知的结论是椭圆曲线可以被复平面C单值化（参数化）：

为理解下面的模函数单值化，可以先作一个类比：

把椭圆曲线当做单位圆xx+yy=1，它可以分别被有理函数（联想万能公式）和三角函数单值化，以此类比椭圆函数和模函数单值化椭圆曲线。

椭圆曲线可以被定义在双曲平面H上的模函数（满足f(M(z))=f(z)的亚纯函数）单值化（参数化）：

我们可能听说过顶尖数学高手之间交流有时候是手画很ugly的草图，外人看起来一塌糊涂。其差别在于高手们对草图背景知识十分精通，一点就透。换句话说，几何直观也罢，想象力也好，背后需要扎实的基本知识为基础的。很多人把这个过程倒过来了，特别是好高骛远类初学者。

下面是其它几个例子：模空间没法类比简化了，本身就很复杂。下图是高维几何抽象化的一个例子。

对于了解四维流形背景的人，看到模空间这张图就能联想到符号差的协边不变性，奇点数等于正定矩阵的秩等数学性质。

下面可以说点本科水平的例子了（这年头前面不讲点大例子显得不专业）：

下面的一段话是广中平佑科普自己的大成果：

下面的图形是一般形式的柯西积分定理，是阿尔福斯书上的原图。

写了这么多发现难度是先难后易，似乎应该倒着举例才对。其实，文章在于强调一种看法：对于多数人，几何直观或想象力是一种辅助理解数学的方法，而不是神之指引。它是一种理解事物的形式，是深度思考的结果，把很深刻的结果以一种simple and naive的方式表达出来，走的是简单-复杂-简单之路。这种过程常常曲折险远，非勤奋思考难以至。