马同学高等数学-微分是什么

功能介绍 看图学数学！可能是中国最好的高等数学的基础概念讲解，深入浅出、形象生动。没有高深的数学符号，只有你能懂的数学内容。

9月21日

单变量微积分、线性代数的概念很多，我们的“马同学带你学”系列：

  • “单变量微积分”（主要覆盖《高等数学同济版上》的内容）
  • “线性代数”（主要覆盖《线性代数同济版》的内容）

通过通俗易懂的方式进行讲解，感兴趣可以点击最下方的“阅读原文”报名参加。

本文是付费课程“单变量微积分”中的一课，目前还在连载中，如果想了解更多的前置内容，可以先看下另外两篇前面章节的免费内容：

最开始我们就提到了，曲线下微小的矩形是“微分”：

把这些“微分”加起来就是“积分”，就可以得到曲线下的面积：

上一章定义了极限，解决了微积分中的第一个问题，什么是“  无限接近0”：

下面我们开始研究数学上什么是“微分”，怎么把“微分”加起来完成“积分”。

1 积分

比如要求  ，在  下的面积：

把  平均分成  份，每份长为  ：

这些点的坐标是这么一个数列（把  点去掉）：

点之间的间隔为  ，所以上述数列可以简写为：

以这些坐标为终点，宽为  ，高为  作矩形：

每个矩形面积为  ，它们的面积和为：

已知其中的级数：

所以上面的式子继续算下去：

因为  ，代入上式可得：

当  的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

从数学上就是，曲面下面积  为：

在极限的帮助下，算出了曲面下的面积。

2 新的开始

既然得到了曲面下的面积了，是不是微积分课程完了？并没有，实际上刚刚开始。

2.1 计算复杂

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法，那时候还没有极限，他是直觉地认为当  足够大时：

这种计算方法简单粗暴，比如，想求正弦函数曲线下  之间的面积，也可以通过矩形和来计算，但是计算起来并不简单（详细计算步骤可以查看这里）：

把矩形面积加起来就需要计算级数（级数就是数列的和），但级数的计算往往很复杂。

欧拉就是一个级数计算大师，当时很多数学家求“积分”时，算不出级数就向欧拉求救，所以有句话是这么说的：“欧拉，他是所有人的老师”（出自另外一位数学家拉普拉斯之口）。

2.2 不够抽象

之前说了，可以用内接多边形来逼近圆的面积：

也可以换个思路，用小三角形的和来逼近圆的面积：

“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工，但毕竟三角形和矩形还是不一样，能否把这两者统一起来？

还有，能不能用微积分来计算一段曲线的长度（马上就可以看到如何去做）：

例子可能举得还不够好、不够多，但可以看出目前所学的微积分还不够抽象，不足以解决更多问题。

2.3 小结

不管是为了计算更加简便，还是为了扩大微积分的应用范围，我们都需要开始新的学习。

3 微分

不管为了计算的便利性，还是覆盖更多的应用场景，都需要把“微分”这个概念抽象出来。

3.1 矩形微分

比如，想求  区间内  曲线下的面积  ：

把  平均分成  份，每份长为  ，每个  对应一个  ：

很显然：

从里面随便选一份，为了表示一般性，其面积记为  ：

在同样的位置，以  为底、 为高作矩形，其面积记为 ：

很显然，随着  ，  与  会无限接近：

实际上两者都是无穷小：

 与  有各自的名字（命名的来由可以查看这里）：

“微分”是对“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做线性近似：

在极限下有（因为  ，所以  相当于 ）：

其中，  对应之前的 。

稍微总结下：

3.2 三角形微分

要求圆的面积  ：

同样的可以把它均分为  个扇形：

很显然，也可以用三角形去近似这些扇形：

这里，小扇形就是“差分”，小三角形就是“微分”，以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。

3.3 切线微分

要求这条曲线的长度：

可以把它均分为  个曲线段：

也可以用切线段（切线之后就会介绍）来近似这些曲线段：

划分细点的话，更容易看出两者的相似性：

这里，曲线段就是“差分”，切线段就是“微分”，以切线段的“直”去代替曲线段的“曲”。

3.4 小结

“微分”是“差分”的线性近似，是对“以直代曲”思想的数学表达。

有了“微分”之后，上述几种“积分”（包括面积、曲线长度等）就可以统一表示为：

上述几种“微分”的严格定义不尽相同，这里暂不给出，后面不断完善。

因为微信文章不能编辑，如果有修改增删会在这里更新：微分是什么？

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Created at: 2018-10-08 16:35:27

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